yksikkökvaternioniota

Yksikkökvaternio on kvaternio, jonka normi eli itseisarvo on yksi. Kvaterniot ovat nelidimensionaalisia lukuja, jotka voidaan esittää muodossa a + bi + cj + dk, missä a, b, c ja d ovat reaalilukuja ja i, j, k ovat imaginaariyksiköitä, joille pätevät säännöt i² = j² = k² = ijk = -1. Yksikkökvaternioiden normi määritellään kaavalla ||q|| = sqrt(a² + b² + c² + d²). Kun tämä normi on yksi, eli a² + b² + c² + d² = 1, kyseessä on yksikkökvaternio.

Yksikkökvaternioita käytetään erityisesti kolmiulotteisten rotaatioiden esittämiseen. Jokainen kolmiulotteinen rotaatio voidaan esittää yksikäsitteisesti yhden yksikkökvaternioilla, lukuun ottamatta etumerkin kaksinaisuutta. Tämä tekee niistä tehokkaamman ja numeerisesti vakaamman tavan käsitellä rotaatioita verrattuna esimerkiksi Eulerin kulmiin. Yksikkökvaternioiden avulla rotaatioiden yhdistäminen on yksinkertaista kertolaskuna.

Yksikkökvaternion $q = a + bi + cj + dk$ vastaava rotaatio akselin $\vec{v} = (x, y, z)$ suunnassa, missä $|\vec{v}|=1$, kulmalla $\theta$ voidaan määritellä seuraavasti: $a = \cos(\theta/2)$ ja $(b, c, d) = \vec{v} \sin(\theta/2)$. Yksikkökvaternioiden käänteisarvo on sen konjugaatti, mikä tekee niistä erityisen käteviä rotaatioiden manipuloinnissa. Ne löytävät sovelluksia useilla aloilla, kuten tietokonegrafiikassa, robotiikassa ja ilmailutekniikassa.