Yhtälökokonaisuus

Yhtälökokonaisuus tarkoittaa joukkoa toisiinsa liittyviä yhtälöitä, joiden tuntemattomat ovat samoja ja jotka pyritään ratkaisemaan samanaikaisesti. Kokonaisuuteen voi kuulua lineaarisia tai epälineaarisia yhtälöitä, ja ratkaisu määrittelee, millä arvoilla kaikki yhtälöt ovat yhtä aikaa voimassa. Yleensä on olemassa m yhtälöä ja n tuntematonta; ratkaisujoukko voi olla tyhjä, olemassa oleva yksittäinen ratkaisu tai äärettömän monta ratkaisua riippuen järjestelmän konsistenssista ja riippuvuudesta.

Lineaarisessa yhtälökokonaisuudessa kaikki tuntemattomat esiintyvät ensimmäisessä potenssissa eikä tulosten välillä ole monomeerisiä riippuvuuksia. Sille voidaan esittää matriisimuoto Ax = b, jossa A on muuttujien koeffisienttien matriisi, x on tuntemattomien vektori ja b oikea puoli. Ratkaisut jaetaan usein kolmeen luokkaan: konsistentti järjestelmä, jolla on ainakin yksi ratkaisu; epäyhtälöinen järjestelmä, jolla ei ole ratkaisuja; sekä riippuva eli redundanssinen järjestelmä, jolla on äärettömän monta ratkaisua.

Ratkaisumenetelmät vaihtelevat lineaarisessa ja epälineaarisessa tapauksessa. Lineaarisessa tapauksessa käytetään usein Gaussin eliminointia tai Gauss–Jordanin eliminointia, kolmitavoista muuntelua ja mahdollisesti matriisien kääntämistä (inversio), kun A on neliö ja kääntyvä. Cramerin säännön voi soveltaa, kun ratkaistavat vektorit ja matriisi täyttävät tietyt ehdot. Epälineaarisessa tapauksessa ratkaisuja etsitään useimmiten numeerisesti tai käyttämällä erikoisnopeita iterative-ratkaisumenetelmiä.

Esimerkki: 2x + 3y = 5 ja x - y = 1. Ratkaiseen asettamalla x = y + 1 ja korvaamalla: 2(y + 1) + 3y = 5 johtaa 5y = 3, joten y = 3/5 ja x = 8/5. Tällöin järjestelmän ainut ratkaisu on (x, y) = (8/5, 3/5).