Yhtäläisyysluokkien

Yhtäläisyysluokka on joukko alkioita, jotka liittyvät toisiinsa tietyn yhtäläisyyssuhteen kautta. Yhtäläisyyssuhde on relaatio, joka on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. Refleksiivisyys tarkoittaa, että jokainen alkio on yhtäläinen itsensä kanssa. Symmetrisyys tarkoittaa, että jos alkio A on yhtäläinen alkion B kanssa, niin myös alkio B on yhtäläinen alkion A kanssa. Transitiivisuus tarkoittaa, että jos alkio A on yhtäläinen alkion B kanssa ja alkio B on yhtäläinen alkion C kanssa, niin myös alkio A on yhtäläinen alkion C kanssa.

Kun joukkoon määritellään yhtäläisyyssuhde, joukko jakautuu ositusjoukkoihin. Jokainen näistä ositusjoukoista on yhtäläisyysluokka. Kaikki saman yhtäläisyysluokan alkiot ovat yhtäläisiä keskenään, ja eri yhtäläisyysluokkiin kuuluvat alkiot eivät ole yhtäläisiä keskenään.

Yhtäläisyysluokkia käytetään matematiikassa monissa eri yhteyksissä. Esimerkiksi joukko-opissa yhtäläisyysluokat syntyvät ekvivalenssirelaatioista. Lineaarialgebrassa matriisien yhtäläisyysluokat liittyvät samankaltaisiin matriiseihin. Myös ryhmäteoriassa yhtäläisyysluokat ovat keskeisiä, esimerkiksi kun tutkitaan ryhmän konjugaattiluokkia. Yhtäläisyysluokkien avulla voidaan siis luokitella ja järjestää matemaattisia objekteja niiden yhtäläisyysominaisuuksien perusteella, mikä helpottaa niiden tutkimista ja ymmärtämistä.