yhtäläisyysluokkiin

Yhtäläisyysluokka on matematiikassa kokoelma alkioita, jotka ovat keskenään "yhtäläisiä" jonkin määritellyn yhtäläisyyssuhteen suhteen. Yhtäläisyyssuhde on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen relaatio. Jokainen alkio kuuluu täsmälleen yhteen yhtäläisyysluokkaan. Yhtäläisyysluokat muodostavat ositus joukon, eli ne ovat erillisiä ja niiden yhdiste on koko alkuperäinen joukko.

Esimerkiksi kokonaislukujen joukossa voidaan määritellä yhtäläisyys modulo n siten, että kaksi kokonaislukua ovat yhtäläisiä modulo n, jos niiden erotus on jaollinen luvulla n. Tällöin muodostuu n kappaletta yhtäläisyysluokkia, jotka vastaavat jäännöksiä jaettaessa luvulla n. Nämä luokat ovat {..., -2n, -n, 0, n, 2n, ...}, {..., -2n+1, -n+1, 1, n+1, 2n+1, ...}, ja niin edelleen aina luokkaan {..., -n+n-1, n-1, 2n-1, ...}.

Yhtäläisyysluokkia käytetään yleisesti abstraktissa algebrassa, esimerkiksi ryhmien ja renkaiden teoriassa. Ne auttavat yksinkertaistamaan monimutkaisia rakenteita ja paljastamaan niiden perustavanlaatuisia ominaisuuksia tarkastelemalla niitä pienemmissä, hallittavissa olevissa osissa. Yhtäläisyysluokkien käsite on keskeinen ymmärrettäessä matemaattisia rakenteita niiden ekvivalenssinäkökulmasta.