Weibullfordelingen

Weibullfordelingen, også kendt som Weibull-fordelingen, er en kontinuert sandsynlighedsfordeling, der ofte anvendes til modellering af ventetider og livslængder for produkter og maskiner. Den defineres af to parametre: formparameteren k > 0 og skalaparameteren λ > 0.

PDF og CDF: PDF f(x) = (k/λ) (x/λ)^(k-1) exp(-(x/λ)^k) for x ≥ 0, og f(x) = 0 ellers. CDF F(x) = 1 - exp(-(x/λ)^k) for x ≥ 0. Hazardfunktionen er h(x) = f(x) / (1 - F(x)) = (k/λ) (x/λ)^(k-1) = k x^(k-1) / λ^k. Formparameteren k bestemmer ændringen i hazardraten over tid: k > 1 giver stigende hazardrate, k = 1 giver konstant hazard (eksponentialfordelingen), og k < 1 giver faldende hazardrate.

Momenter og egenskaber: Forventet værdig E[X] = λ Γ(1 + 1/k). Variansen er Var(X) = λ^2 [Γ(1 + 2/k) - Γ(1 + 1/k)^2]. Fordelingen har ikke negativ støtte som regel; den er ofte anvendt til positive data.

Anvendelser: Weibullfordelingen bruges bredt inden for livsdata og pålidelighedsanalyse af komponenter og produkter, til modellering af vindhastigheder og andre miljødata samt i materialestyrke og kvalitetskontrol. Den giver fleksibel tilpasning af hældningen og hvilepunkter i data gennem k og λ.

Parameterestimering: Estimering af k og λ sker normalt ved maksimum likelihood-estimation (MLE), som typisk kræver numeriske optimeringsmetoder. Metoder baseret på øjeblikke kan også anvendes, men MLE er mest udbredt i praksis. Som særegenhed reduceres modellen til eksponentialfordelingen, når k = 1.