Waveletmuunnoksia

Waveletmuunnokset ovat signaalien ja kuvien analysointiin käytettäviä muunnoksia, jotka jakavat signaalin useisiin mittakaavoihin ja säilyttävät sekä aika- että taajuustiedot. Ne tarjoavat parempaa paikannusta nopeasti muuttuville piirteille kuin Fourier-analyysi.

Perusidea on valita wavelet-funktio psi sekä skaala- ja siirtoparametrit. Jatkuvassa wavelet-muun­noksessa f(t) analysoidaan W(a,b)=∫ f(t) ψ*((t−b)/a)/sqrt(|a|) dt, mikä antaa ajan ja mittakaavan mukaan kuvaa signaalin rakenteista. Diskreetti wavelet-muunnos (DWT) käyttää dyadisia skaaloja a=2^j ja diskreettejä siirtoja b=k2^j, ja rakentaa multi-resolution-analyyysin.

DWT:n toteutus: Mallatin pyramidi -algoritmi käyttää kahden suodatinjärjestelmän (matala- ja korkeapäästö) portaileja, jolloin signaali murskautuu useille tasoille. Sijoituksena saadaan koeffisientit, jotka muodostuvat lähinnä ellipsistä (approximation) ja yksityiskohdista (detail) kullekin tasolle. Signaali voidaan rekonstruoida käyttämällä käänteistä pyramidia ja samoja suodattimia sekä upsamplingia.

Ominaisuudet: Waveletit tarjoavat hyvän aikataajuuslokalisoinnin ja tiivistämiskyvyn, mikä johtaa sparse-esitykseen. Monilla waveleteilla on häviävät momentit, mikä mahdollistaa polynomien poisjättämisen tietyissä kohdissa ja parantaa signaalin ja kuvien esitystä.

Sovellukset: signaalien denoising, pakkaus (JPEG 2000), kuvan- ja videon esikäsittely, ominaisuuksien poiminta, biolääketieteellinen signaalianalyysi (ECG, EEG), geofysiikka ja seismologia.

Esimerkkejä: yleisimmistä waveleteista ovat Haar, Daubechies-, Symlets- ja Coiflets-sarjat; jatkuviin muunnoksiin liittyviä ovat Morlet- ja Mexican hat -waveletit. Wavelet-paketteja käytetään laajennetussa analyysissä.