Vänstersingulärvektorer

Vänstersingulärvektorer är en fundamental del av singulärvärdesuppdelningen (SVD) av en matris. För en given matris A, representerar vänstersingulärvektorerna en ortonormal bas för kolonnrummet (range) av A. De är egenvektorer till matrisen AA^T, där A^T är den transponerade matrisen av A. Om A är en m x n matris, så är AA^T en m x m matris, och dess egenvektorer är m-dimensionella vektorer. Dessa egenvektorer, när de är normaliserade till enhetslängd, utgör vänstersingulärvektorerna.

I SVD-uppdelningen A = UΣV^T, är kolumnerna i matrisen U de vänstersingulärvektorerna. Dessa vektorer är ordnade i samma ordning som de motsvarande singulärvärdena i matrisen Σ. Vänstersingulärvektorerna ger information om hur matrisen A transformerar vektorer i dess domän. De visar i vilken riktning i målrummet som matrisen "sträcker" eller "komprimerar" vektorer. Genom att använda vänstersingulärvektorerna kan man konstruera en ortogonal projektion av vilken vektor som helst i målrummet på kolonnrummet av A. Detta gör dem användbara i applikationer som dimensionsreducering, brusreducering och bildkomprimering.