Vierdimensionalraum

Der Vierdimensionalraum, oft auch Vierdimensionaler Raum genannt, ist in der Mathematik ein vierdimensionaler affiner Raum, in dem Punkte durch vier Koordinaten beschrieben werden. In der häufigsten euklidischen Interpretation handelt es sich um den Vektorraum R^4 mit dem Standardinnerprodukt ⟨x,y⟩=x1y1+x2y2+x3y3+x4y4 und der dazugehörigen Distanz d(p,q)=||p−q||=√((Δx)²+(Δy)²+(Δz)²+(Δw)²).

Aus der Geometrie ergeben sich vierdimensionale Objekte wie der Tesserakt, die direkte Vierdimensionalität eines Würfels; weitere Beispiele sind der 4D-Simplex und andere 4D-Polytopien. Vierdimensionale Objekte veranschaulichen sich durch Projektionen, Schnitte oder orthogonale Projektionen in drei Dimensionen; die Vorstellung bleibt dennoch anspruchsvoll.

Im physikalischen Kontext wird der Vierdimensionalraum oft als Raumzeit bezeichnet. In der Speziellen Relativitätstheorie hat man eine vierdimensionale Minkowskische Metrik mit der Signatur (-,+,+,+) bzw. (+,-,-,-). Die Koordinaten werden oft (ct,x,y,z) geschrieben; Abstände und Intervalle bleiben invariante Größen unter Lorentztransformationen.

Symmetrien: In der euklidischen Sicht bilden Rotationen und Spiegelungen die Gruppe O(4); in der Minkowski-Raumzeit die Lorentzgruppe O(3,1).

Geschichte: Die Idee höherdimensionaler Räume entwickelte sich im 19. Jahrhundert; der Begriff Vierdimensionaler Raum und die populäre Visualisierung von Vierdimensionalem Raum wurden durch Autoren wie Charles Howard Hinton geprägt, der den Begriff Tesserakt einführte.