Vierbeinigkeit

Vierbeinigkeit bezeichnet in der Differentialgeometrie und der allgemeinen Relativitätstheorie die Fähigkeit, an jedem Punkt einer vierdimensionalen Lorentz-Mannigfaltigkeit einen lokalen orthonormalen Rahmen zu definieren. Ein solcher Viererrahmen besteht aus vier Vektorfeldern e_a^μ, die die Tangentialräume spannen und die lokale Minkowski-Metrik η_ab liefern. Die Raumzeitmetrik g_μν ergibt sich aus der Vierbeinformel g_μν = η_ab e^a_μ e^b_ν. Die Indizes a,b sind lokale Lorentz-Indizes, μ,ν Koordinatenindizes. Damit wird die Geometrie durch eine Menge lokaler Frames beschrieben, wodurch globale Lorentz-Symmetrie als lokale Symmetrie sichtbar wird.

Der Vierbeinansatz erleichtert die Kopplung an Fermionen, da gamma-Matrices im gekrümmten Raum durch γ^μ = e^μ_a γ^a eingeführt werden können. Der Spin-Connection ω_μ^{ab} beschreibt die Veränderung dieser lokalen Rahmen zwischen benachbarten Punkten, sodass der kovariante Ableitung von Spinorfeldern definiert ist: ∇_μ ψ = ∂_μ ψ + (1/4) ω_μ^{ab} γ_{ab} ψ. In dieser Formulierung wird die Gravitation oft im sogenannten Tetrad- oder Vielbein-Formalismus behandelt, der neben dem e-Feld auch eine Verbindung ω_μ^{ab} umfasst.

Global betrachtet existiert eine Vierbeinigkeit nicht immer auf dem gesamten Mannigfaltigkeitsraum. Ein globaler Vierbeinfeldensatz erfordert, dass die Tangentialbündel trivial ist (Parallelisierbarkeit). Topologische Obstruktionen werden durch Stiefelmanngwichte-Klassen bestimmt. Locale Vierbeine existieren jedoch immer lokal und bilden die Grundlage vieler gravitativer Formulierungen, darunter der Palatini- und der Einstein-Cartan-Theorie.