Vertaissuhteet

Vertaissuhteet, tai equivalence relations, ovat matemaattinen käsite, jolla alkioita voidaan luokitella yhtäläisyyden perusteella. Olkoon A joukko ja ~ suhde A:n alkioden välillä. Suhteen sanotaan olevan vertaissuhde, jos se täyttää kolme ominaisuutta: refleksiivisyyden, symmetrisyyden ja transitiivisuuden. Refleksiivisyys tarkoittaa, että jokainen a ∈ A toteaa a ~ a. Symmetrisyys tarkoittaa, että jos a ~ b, niin myös b ~ a. Transitiivisuus tarkoittaa, että jos a ~ b ja b ~ c, niin a ~ c. Näin ollen ~ muodostaa joukkoon A selkeästi määritellyn luokittelun.

Jokaiselle alkiolle a voidaan muodostaa vertailuluokka [a] = { x ∈ A | x ~ a }. Saman luokan alkiot ovat kaikki toistensa kanssa veritaissuhteen alaisia. Eri alkiot voivat antaa samoja luokkia, joten koko A voidaan jakaa epäyhdenmukaisiin, disjunktteihin luokkiin. Tämä luokkien kokoelma, A/~, on nimetty osittain hyödyntäen: se on niin sanottu kvoti-joukko, eli joukko equivalence-luokista. Jokainen alkio kuuluu tarkalleen yhteen luokkaan, ja luokat peittävät koko A.

Esimerkkejä: tavallinen yhtäsuuruus-suhde (=) on triviaalinen vertaissuhde. Toisena esimerkkinä on kokonaislukujen kongruenssi modulo n: a ≡ b (mod n) jos ja vain jos n | (a − b). Tämän suhteen luokat ovat lukuja, jotka jakavat saman jättimenon n.

Verraissuhteet liittyvät tiiviisti partitioihin: jokainen vertaissuhde määrittää tietyn jakautumisen, ja jokainen jakautuma määrittää vastineen vertaissuhteelle. Niillä on keskeisiä sovelluksia algebrassa, topologiassa ja kokonaislukujen mod-ylärakenteissa.