Vektorszámításban

Vektorszámításban a matematikai analízis olyan ága, amely vektormezőkkel foglalkozik. A vektormező olyan függvény, amely minden pontban vektort rendel, például F(x,y,z) = (F1, F2, F3). A legfontosabb operátorok a gradient ∇f (skalármező növekedésének iránya), a divergencia div F (kiáramlás mértéke), a curl vagy rotáció ∇×F (mező körképző forgatása) és a Laplace-operátor ∇² (másodrendű tulajdonság). Ezek a műveletek lehetővé teszik a mezők lokális tulajdonságainak és kölcsönhatásainak vizsgálatát; gyakorlati alkalmazásokhoz gyakran szükséges a sima (általában C¹–C²) vektor- és skalármezők feltétele.

A vektorszámításban gyakran dolgozunk vonal- és felületi integrálokkal. Lineáris Integrál F·dr egy görbe mentén a munka vagy energia változását adja meg; felületi integrál ∬_S F·n dS a felületen átfolyó fluxust méri, ahol n a felülethez vett egységnormál. Minden esetben fontos a megfelelő paraméterezés és orientáció.

Kiemelt tételek közé tartozik a Green-tétel (kétváltozós), amely a görbe mentén vett lineáris integrál és a terület kétdimenziós integrálja közötti kapcsolatot adja meg; a Stokes-tétel, amely a rotáció és a felület közti összefüggést általánosítja; és a Gauss-divergencia tétel (Gauss-tétel), amely a zárt felület fluxusát a térfogat divergenciájával köti össze. Alkalmazások széles köre van a fizikában, a folyadék- és gázdinamikában, mérnöki problémákban és számítógépes grafika területén.

---