Gausstétel

Gausstétel (Gauss-tétel) több tétel összefogó neve, amelyeket Carl Friedrich Gauss nevéről neveztek el. A kifejezés általában két fontos eredményre utal: a divergencia tételre (matematikai Gauss-tétel) és Gauss törvényére az elektrosztatikában. Mindkettő a fluxus és a divergencia közötti kapcsolatra épül, és a fizikában valamint a matematikában széles körben alkalmazzák.

Divergencia tétel: Ha egy F vektoros mező felületen át vett fluxusa zárt S felület körül értelmezett, és S által határolt V térfogatban F rendelkezik folyamatos parciális deriváltakkal, akkor a kapcsolat a felület és a térfogat között a következő: ∮_S F · n dS = ∭_V div F dV. Ahol n a kifelé mutató normálvektor. Ez lehetővé teszi, hogy a felületi integrálokat belső térfogati integrálokra cseréljük, ami különösen hasznos fizikai problémákban.

Gauss-tétel az elektrosztatikában: az összes zárt felületen át haladó elektromos fluxus E-vel egyenlő a felület által borított töltés Q_enclosed osztva ε0-val: ∮_S E · dA = Q_enclosed/ε0. Differenciális formában: div E = ρ/ε0. A közeg elektromos tulajdonságaitól függően a diszperziós esetet is kezelhetjük D-mezővel: ∮_S D · dA = Q_free_enclosed, és div D = ρ_free. A Gauss-tétel a Maxwell-egyenletek alapvető összefüggéseinek része.

Kapcsolat és alkalmazások: a divergencia tétel matematikai alapja Gauss törvényének és sok fizikai problémában lehetővé teszi a fluxus felületre vonatkozó számításainak egyszerűsítését, például statikus és idő-változó mezők, elektromágneses problémák, folyadékdinamika területén.