integrálokat

Az integrálok a matematika egyik alapfogalma, két fő típusa van: határozatlan és határozott integrál. A határozatlan integrál az f függvény primitívje, amelynek deriváltja f. Emiatt ∫ f(x) dx = F(x) + C, ha F′(x) = f(x). A határozott integrál pedig a függvény görbéje alatti területet számolja ki egy adott [a, b] intervallumon: ∫_a^b f(x) dx.

A határozott integrál értelmezése során gyakran a területképzés motiválja a definíciót, és a pozitív területen a jelzett érték pozitív, míg változó jellegű függvények esetén lehet negatív is. Az integrálokat gyakran használják koordináta-rendszerekben, hogy összegzett mennyiségeket írjanak le, például területek vagy tömegek meghatározására.

Számítási módszerek közé tartoznak az analitikus technikák és a numerikus megközelítések. Analitikai példák: ∫ x^n dx = x^{n+1}/(n+1) + C, ∫ e^x dx = e^x + C, ∫ 1/x dx = ln|x| + C. Ha az analitikus megoldás nehéz vagy lehetetlen, akkor numerikus módszerek segítenek, például a trapézszabály, a Simpson-szabály vagy más Gauss-kalibrált eljárások.

További típusok közé tartozik a végtelen integrál és a Lebesgue-integrál, amely szélesebb osztályú függvényeket is kezel. Az integrálok alapvető tételét a számítási analízis kötődik össze a deriválással: ha F primitív függvény, akkor ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). Az integrálok alkalmazásokban fontosak fizikai mennyiségek, valószínűség-számítás, gazdasági modellek és sok más területen.