Laplaceoperátor

The Laplaceoperátor, på norsk/bokmål eller svensk som Laplace-operatören på svenska, kjent som Laplace-operatoren i engelsk, er et lineært differensialoperator som tilordner en hvilesfuktet (to ganger kontinuert deriverbar) funksjon f til dens divergens av gradienten: Δf = div(grad f). Det kan også skrives som Δf = ∑ ∂^2 f/∂x_i^2 i rom av n dimensjoner. I fysikk og ingeniørfag måler operatøren i hvilken grad en funksjon avviker fra sitt lokale gjennomsnitt.

I rommet R^n med kartesiske koordinater (x_1, ..., x_n) er Δf = ∑_{i=1}^n ∂^2 f/∂x_i^2. I tre dimensjoner blir Δf = ∂^2 f/∂x^2 + ∂^2 f/∂y^2 + ∂^2 f/∂z^2. I andre koordinatsystem får man uthogget uttrykk med ekstra ledd; for eksempel i cylindriske koordinater (ρ, φ, z) og i sfæriske koordinater (r, θ, φ) har Δf spesifikke formeluttrykk som inkluderer ρ og sin θ.

Egenskaper og viktige likninger: Operatøren er lineær og, under passende funksjonsrom, selvadjungert og elliptisk. Laplace-likningen Δf = 0 definerer harmoniske funksjoner. Poisson-likningen Δu = g opptrer i elektrostyring, varmeledning og kvantemekanikk. På begrensede domen­er med randbetingelser får Δ et diskret spektrum; eigenfunksjonene danner base i L^2. I Fourier-rommet blir Δ satt til multiplikasjon med -|ξ|^2, noe som letter løsning av konvolusjonsskjemaer. På måter generaliseres Laplaceoperatøren til en metrikkbasert variant, Laplace–Beltrami-operatoren, Δf = div grad f på Riemannianske mangfold, som spiller en sentral rolle i geometri og teoretisk fysikk.

Anvendelser spenner fra elektroteknikk og varmeledning til grafisk bildebehandling og potensiellteori.