Vektorruume

Vektorruumid (vector spaces) on algebrilised struktuurid, mis kirjeldavad kogumeid objekte, mida saab kokku liita ja suurendada skalaariga. Formaalne definitsioon hõlmab hulka V ja kaks operatsiooni: lisamine ja skalaariga korrutamine, mis toimivad valitud väli F alusel. Need operatsioonid rahuldavad kaheksa aksiomat: sulgus lisamis ja skalaarsetes korrutustes, lisamise assotsiatiivsus ja kommutatiivsus, olemasoluandi lisatihe (0) ja lisavastased (igas v puhul leidub -v, nii et v + (-v) = 0), üksuse korrutamine (1·v = v) ning jaotatavad omadused a·(u+v) = a·u + a·v ja (a+b)·v = a·v + b·v kõigi u,v ∈ V ja a,b ∈ F.

Tavalised näited hõlmavad R^n-i reaalsete lisamishulgade ja skalaarsete korrutuste all, polünoomide kogumit reaalarvuliste koefitsientidega, kõikide reaalarvuliste funktsioonide kogumit X-i peal ning erinevaid maatriksite ruume, millele kehtivad standardne lisamine ja skalaarne korrutamine.

Alamhulgad ja algruume: mittetäielikult tühine alamrühm W ⊆ V, mis on suletud lisamise ja skalaarsete korrutuste all, on algruume. Sellel on lisaks algtingimustele, näiteks nullvektor on alati kättesaadav.

Vektorruumide mõõt: alus (basis) on lineaarset sõltumatuse ja samas ulatuslikkuse päästet, ning ruumi dimensioon on aluseliikmete arv. Finitaalse dimensiooniga ruumidel on lõplik alus; lõpmatu dimensiooniga ruumid võivad aluste suuruselt olla erinevad.

Lineaarseted kirjed ja matid: Linaarne teisend(T: V → W) säilitab lisamise ja skalaarse korrutamise. Kernus ja pilt on algruume. Rank-nullity teoreem seob nende dimensionid.

Kohandused ja lisavormid: alates alusvalikust saab V identifitseerida F^n-iga komponentide koordinaatide abil. Täiendav struktuur, näiteks sisendskoor, annab ruumile Euclid'i või Hilbert'i ruumi omadused, mis lisavad geomeetrilise tähenduse.