Varianssien

Varianssi on tilastollinen mittari, joka kuvaa muuttujan arvojen hajontaa keskiarvon ympärillä. Se kertoo, kuinka paljon yksittäiset havainnot poikkeavat keskiarvosta keskimäärin. Varianssi voidaan määritellä populaatiossa Var(X) = E[(X − μ)^2], missä μ on X:n expected value eli keskiarvo. Discreetissä ja jatkuvissa jakaumissa Var(X) voidaan kirjoittaa myös Var(X) = E[X^2] − μ^2. Varianssi mittaa muuttujan epäjatkuvaa tai jatkuvaa hajontaa ja on neliöyksikköjensä verrannainen keskihajontaan.

Kokeellisesti voidaan laskea näytevarianssi s^2. Mikäli723 arvoa x1, x2, …, xn saadaan otoksesta, näytevarianssi s^2 = (1/(n−1)) Σ_i (xi − x̄)^2, missä x̄ on otoskeskiarvo. Tässä n−1 korjaa kohdistunutta harhaa ja tekee s^2:n epävaristettavan (unbiased) estimaattorin populaatiovarianssille, kun otos on satunnaisesti valittu. Koko varianssi ja sen neliöjuuri, standard deviation s = sqrt(s^2), ovat mittareita hajonnasta; niiden yksiköt vastaavat alkuperäisten arvojen yksiköitä suuremman neliöyksikön sijaan.

Ominaisuudet: varianssi on aina vähintään nolla. Se on neliöyksikköinen ja skaalautuu neliöllisesti: Var(aX + b) = a^2 Var(X). Jos X ja Y ovat riippuvaisia, Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y); riippuvaisuudesta riippuen hajonta voi kasvaa tai pienentyä.

Monissa tilanteissa varianssi liittyy jakautumien ominaisuuksiin; normaalijakaumassa esimerkiksi (n−1)s^2/σ^2 noudattaa χ^2-jakaumaa, kun X_i ovat identtisesti ja riippumattomasti N(μ, σ^2). Varianssia käytetään laajasti tilastollisessa päättelyssä, riskien arvioinnissa ja kokeellisten tulosten vaihtelevuuden kuvaamisessa.