Vakausanalyysin

Vakausanalyysi on järjestelmän vakauden tutkimista. Sen tarkoituksena on selvittää, miten järjestelmä reagoi pieniin poikkeamiin ja palautuuko se tasapainopisteeseensä vai muuttuvatko poikkeamat epätoivotulla tavalla. Vakausanalyysiä sovelletaan laajasti dynamiikan ja säätötekniikan kautta fysiikassa, elektroniikassa, mekaniikassa, biologiassa ja taloustieteissä. Järjestelmä voidaan kuvata differentiaali- tai erotusmenetelmin sekä jatkuva- että diskreettina aikat­tuna, ja vakaus voidaan luokitella paikalliseksi tai globaaliksi sekä asymptotisesti vakaaksi, staattiseksi vakaudeksi tai BIBO-stabiilisuudeksi.

Keskeisiä käsitteitä ovat tasapainopisteet ja niiden ympärillä ilmenevä reaktio. Järjestelmän vakaus tarkoittaa, että pienet poikkeamat pienenevät ajan kuluessa ja järjestelmä palaa tasapainoon, kun taas epävakaus antaa poikkeaman kasvaa. Statiikkaa määritellään usein lineaarisissa ja epälineaarisissa kehyksissä, ja tulkintoja voi tehdä sekä paikallisesti että globaalisti. Yleisiä luokitteluja ovat Lyapunovin vakaus, asymptotinen vakaus ja stabiilius BIBO-täsmäyksen suhteen.

Menetelmät vakausanalyysiin vaihtelevat. Lineaarisille jatkuva-aikajärjestelmille dx/dt = Ax vakaus voidaan todentaa, kun kaikilla ominaisarvoilla on negatiivinen reaaliosa. Diskreetissä ajassa vakaus edellyttää ominaisarvojen moduksen olevan pienempi kuin 1. Epälineaarisissa järjestelmissä käytetään Lyapunovin suorien menetelmiä ja LaSalle'in invarianssin periaatetta. Lisäksi käytetään kuten Routh–Hurwitzia, Nyquistaa ja Bode-systeemiä vakauden ja vakauden marginaalien analysointiin.

Sovelluksissa vakausanalyysiä hyödynnetään muun muassa sähkö- ja mekaniikkajärjestelmien suunnittelussa, automaatio- ja robottitehtävissä, biologisissa populaatio- ja vaikutusmallissa sekä talousteoriassa, joissa tasapaino- ja vakausominaisuudet ovat keskeisiä. Rajoitteet huomioivat aikavaihtelut, epävarmuudet ja ei-lineaariset käyttäytymismallit, joiden vakaus voi olla tuntemattomampi.