Untersequenzen

Untersequenzen sind in der Mathematik Teilfolgen einer gegebenen Folge. Sei (a_n) eine Folge in einem metrischen Raum. Eine Untersequenz ist die Folge (a_{n_k}) mit streng zunehmenden Indizes n_1 < n_2 < ... , wobei jedes n_k eine natürliche Zahl ist. Die Indizes bestimmen, welche Glieder der Ursprungsfolge ausgewählt werden.

Beispiele: Für a_n = n liefert die Unterfolge mit n_k = k die Folge 1, 2, 3, …; wählt man n_k = k^2, erhält man 1, 4, 9, 16, …

Eigenschaften: Wenn (a_n) gegen L konvergiert, dann konvergiert jede Unterfolge (a_{n_k}) ebenfalls gegen L. Umgekehrt kann eine divergente Folge Unterfolgen besitzen, die gegen unterschiedliche Werte konvergieren.

Ein wichtiger Satz in der Analysis ist der Bolzano-Weierstraß-Satz: In jeder beschränkten Folge in ℝ^d existiert eine konvergente Unterfolge. Ein Grenzwert einer Unterfolge heißt Grenzwert der Unterfolge; ein solcher Grenzwert ist ein Häufungspunkt der Ursprungsfolge.

Anwendungen: Untersequenzen dienen der Analyse von Grenzwerten, der Definition von Häufungspunkten, Diagonalargumenten sowie Beweisen von Stetigkeit und Eigenschaften der Kompaktheit.

Synonyme: In der deutschen Fachsprache wird oft von Teilfolge gesprochen; Unterfolge ist synonym.