Unterraumdimension

Unterraumdimension bezeichnet in der linearen Algebra die Dimension eines Unterraums. Sei V ein Vektorraum über einem Körper F und U ein Unterraum von V. Die Unterraumdimension von U ist die Dimension von U als Vektorraum, also die Kardinalität einer Basis von U. Diese Basis ist eine endliche oder unendliche Menge von Vektoren in U, die U genau spannt und zueinander linear unabhängig ist. Die Unterraumdimension ist unabhängig von der Wahl der Basis; alle Basen von U haben dieselbe Kardinalität, die dann als dim(U) bezeichnet wird.

Beispiele verdeutlichen das Konzept: In R^3 über R hat der Unterraum der x-Achse Dim(U) = 1, der xy-Ebene Dim(U) = 2, der ganze Raum Dim(U) = 3, und der Nullunterraum {0} Dim(U) = 0.

Verhältnis zur Umgebung: Falls V endlich dimensional ist mit dim(V) = n, gilt für jeden Unterraum U von V: 0 ≤ dim(U) ≤ n. Wird U zu V, gilt dim(U) = n. Subräume, die durch Gleichungen beschrieben werden, lassen sich oft über Rang- oder Lösungsraumverfahren bestimmen; z. B. bei U = {x in F^n | A x = 0} ergibt dim(U) = n − rank(A).

Eigenschaften: Für zwei Unterräume U und W von V gilt dim(U + W) = dim(U) + dim(W) − dim(U ∩ W). In unendlich dimensionalen Vektorräumen kann dim(U) auch unendlich sein; dann spricht man von einer unendlichen Dimension. In der Praxis wird häufig die endliche Dimension betont.