Távolságfüggvények

Távolságfüggvények vagy metrikus függvények a matematika olyan nemnegatív függvényei, amelyek X halmazra d: X × X → [0, ∞) térképet adnak. Egy távolságfüggvény általában négy axiomszerű tulajdonságot teljesít: nemnegativitás, d(x,y) ≥ 0; identitás, d(x,y) = 0 csak akkor, ha x = y; szimmetria, d(x,y) = d(y,x); és háromszögei feltétel, d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) minden x,y,z ∈ X. Ezek alapján a d egy metrika (távolságmérő), és X-ben értelmezett téri szerkezetet, továbbá topológiát is ad.

Különféle példák léteznek: a megszokott elrendezésben az euklideszi távolság d2(x,y) = ||x − y||2 a valós n-edik térben; a L1-távolság vagy Manhattan-távolság d1(x,y) = sum |xi − yi|; a végtelen norma d∞(x,y) = maxi |xi − yi|. Ezek mind a normákból származó metríkák, és meghatározzák a természetes topológiát, nyílt gödröket (open balls) és konvergenciát.

Bizonyos esetekben a meghatározott axiómák közül egy vagy több elhagyható, ami általánosításokat eredményez: pszeudometrikák (pszeudometrikus függvények), félmetrikák, illetve quasi-metrikák. Ilyenkor lehet, hogy d(x,y)=0 létezhet x≠y esetén, vagy a szimmetria vagy a háromszög-egyenlőtlenség nem teljesül.

A távolságfüggvények alapvető szerepet játszanak a topológiában, analízisben és geometriában, és számos alkalmazásuk van a koncentrációs és klaszterezési módszerekben, gépi tanulásban, számítógépes grafikában és interszekciós mértékekben.