Tuotosfunktorit

Tuotosfunktorit ovat kategoriateoriassa kahden olion tuotteen kuvaaminen funktorin muodossa. Jos C on kategoria, jossa on binääriset tuottomuodot, tällöin on olemassa bifunktori P: C × C → C, jossa P(X, Y) on olio X × Y ja jolla on projekteja π1: X × Y → X sekä π2: X × Y → Y. Funktori P määritellään morphismeille siten, että jos f: X → X' ja g: Y → Y', niin P(f, g): X × Y → X' × Y' on yksikäsitteinen kuva, jonka koostumukset toteuttavat π1 ∘ P(f,g) = f ∘ π1 ja π2 ∘ P(f,g) = g ∘ π2. Toisin sanoen P(f,g) = ⟨f ∘ π1, g ∘ π2⟩.

Tuotos (product) on olio, jolla on universaali ominaisuus: X × Y varustetaan projekteillaan π1 ja π2 siten, että mille tahansa Z ja pareille f: Z → X, g: Z → Y löytyy yksikäsitteinen arrows ⟨f,g⟩: Z → X × Y, jolla π1 ∘ ⟨f,g⟩ = f ja π2 ∘ ⟨f,g⟩ = g. Tämä universaali ominaisuus määrittelee tuoton upotettuna funktioiden kautta.

Ominaisuudet: Tuotos on bifunktori; identiteetit ja kompositiot säilyvät P:ssä, joten P(id_X, id_Y) = id_{X×Y} ja P(f′∘f, g′∘g) = P(f′, g′) ∘ P(f, g). Tuotteen associatiivisuus on luonnollinen isomorfismi (X × Y) × Z ≅ X × (Y × Z), ja on myös yksikön ominaisuus: X × 1 ≅ X, missä 1 on terminaalinen olio. Näin ollen tuotos muodostaa kartan, joka on monoidiaalisen kategorian kartoituksia vastaava cartesian-monoida.

Esimerkkejä: Setissä tuotos on tavallinen kartesian tuotos X × Y. Monissa muissakin kategorioissa, kuten luokkien ja ryhmien kategorioissa, tuotot ovat vastaavia.

Liittyvät käsitteet: Koproductifunktorit ovat tuotosfunktoreiden dualisia vastineita; niistä käytetään termiä coproduct.