Trapezregelbasierte

Trapezregelbasierte Verfahren beziehen sich auf Methoden der numerischen Analysis, die die Trapezregel als zentrales Prinzip verwenden, um Integrale oder zeitliche Entwicklungen zu approximieren. Der Ansatz basiert darauf, das Integralfeld durch die Fläche eines oder mehrerer Trapeze zu nähern, was eine einfache und leicht implementierbare Grundlage liefert.

In der einfachen Form wird die Trapezregel für ein Intervall [a,b] angewendet, wobei die Intervallbreite h=(b−a)/n ist. Die zusammengesetzte Trapezregel ergibt die Näherung

∫_a^b f(x) dx ≈ h/2 [f(a) + 2 ∑_{i=1}^{n−1} f(a+i h) + f(b)].

Diese Formel lässt sich auch auf zeitliche Diskretisierungen übertragen, zum Beispiel bei der numerischen Integration von Funktionen oder bei zeitabhängigen Problemen in der Differentialgleichungsrechnung.

Der globale Fehler der zusammengesetzten Trapezregel ist quadratisch in der Schrittweite h, genauer E_T = −(b−a)/12 h^2 f''(ξ) für ein ξ im Intervall, sofern f eine stetige zweite Ableitung besitzt. Dadurch ist die Methode einfach, robust und erfordert nur Funktionswerte, was sie in vielen Anwendungen attraktiv macht.

Anwendungen finden trapezregelbasierte Ansätze in der numerischen Integration, bei einfachen Zeitintegrationen von ODEs und in bestimmten PDE-Solvern (etwa als Teil der Crank-Nicolson-Familie). Sie liefern gute Ergebnisse für glatte Funktionen, sind jedoch weniger effizient als höherwertige Quadraturverfahren oder speziellere adaptive Verfahren, insbesondere bei stark oszillierenden oder nicht glatten Funktionen.