Todennäköisyysmassa

Todennäköisyysmassa (englanniksi probability mass function, PMF) on diskreetin satunnaismuuttujan X jakauman kuvaava funktio. Se määrittää todennäköisyyden sille, että X saa tietyn arvon. Jos X:n mahdolliset arvot muodostavat tukijoukon S, niin p(x) = P(X = x) määritellään kaikille x ∈ S. Todennäköisyysmassan tulee olla aina ei-negatiivinen ja kaikkien arvojen massojen summa on 1, eli Σ_{x ∈ S} p(x) = 1.

Todennäköisyysmassa kertoo, miten todennäköisyys on jakautunut X:n arvojen välillä. Diskreetin jakauman ominaisuuksiin kuuluu odotusarvo E[X] = Σ_{x ∈ S} x p(x) ja varianssi Var(X) = E[X^2] − E[X]^2, jolloin E[X^2] = Σ_{x ∈ S} x^2 p(x). Kumulatiivinen jakauma F(x) = P(X ≤ x) liittyy PMF:ään siten, että p(x) kuvaa massan jakautumista pienempiin arvoihin nähden.

PMF:n käyttö liittyy pääasiassa diskreettien muuttujien mallintamiseen. Esimerkkejä: tasakourainen kuutonen nopanheitto, jossa X ∈ {1,2,...,6} ja p(k) = 1/6; Bernoulli-jakauma, jossa X ∈ {0,1} ja p(1) = p, p(0) = 1 − p; Poisson-jakauma, joka on diskreetti jakauma suurelle määrälle tapahtumia tietyssä ajassa.

Eriö verrattuna jatkuvaan jakaumaan on, että PMF on määritelty vain diskreettien arvojen joukossa ja sen massa summataan 1:n. Vastineena jatkuville muuttujille käytetään todennäköisyysLOD- eli tiheysfunktiota (PDF), jonka alla olevaa tiheyttä integroimalla saadaan todennäköisyydet.