Tilstandsromrepresentasjoner

Tilstandsromrepresentasjoner er en matematisk modell for dynamiske systemer som beskriver systemet ved hjelp av tilstandsvariabler. Den vanligste formen består av førsteordens ligninger i kontinuerlig tid eller diskret tid: kontinuerlig tid: dx/dt = Ax + Bu, y = Cx + Du; diskret tid: x[k+1] = Ax[k] + Bu[k], y[k] = Cx[k] + Du[k]. Her er x tilstandsvektor, u innmatsvektor og y utgangsvektor. A, B, C og D er matriser som bestemmer systemdynamikken og dimensjonene etter antall tilstander, innganger og utganger.

Tilstandsromrepresentasjonen beskriver både inn- og utgangene av et system og lar tilstanden være en mellomliggende beskrivelse av den indre dynamikken. Når matrisene er konstante, betegnes systemet som lineært tidsinvariant (LTI). Mer generelt kan modellene være tidsvarierende eller ikke-lineære ved å bruke dx/dt = f(x,u), y = h(x,u). For LTI-systemer kan overføringsfunksjonen fås som G(s) = C(sI − A)⁻¹B + D i kontinuerlig tid, og G(z) = C(zI − A)⁻¹B + D i diskret tid.

Egenskaper som kontrollerbarhet, observerbarhet og stabilitet er sentrale i tilstandsromteori. Disse egenskapene avgjør om systemet kan styres eller observeres fullt ut fra inn- og utgangene, og om det vil oppføre seg stabilt under regulering. Tilstandsromrepresentasjoner brukes også i utforming av kontrollere og estimators, som tilbakemeldingskontroller u = −Kx, Luenberger-observer og Kalman-filter. Populære teknikker inkluderer minimal realisering, kontrollerbar/observerbar canonical form og modellreduksjon. Tilstandsrommodeller har bred anvendelse i ingeniørfag som robotikk, prosessindustri og aeronautikk.