Tilnærmingsteorem

Tilnærmingsteorem er en type matematisk teorem som sier at funksjoner eller objekter av en bestemt klasse kan tilnærmes nøyaktig av elementer fra en enklere eller mer strukturt funksjonsklasse under en definert tilnærming, ofte uniform på et gitt domene. Slike teoremer brukes til å forstå hvor godt komplekse eller abstrakte funksjoner kan etterlignes av mer håndterbare byggesteiner som polynomer eller trigonometriske funksjoner.

Et av de mest kjente tilnærmingsteorene er Weierstrass tilnærmingsteorem. Det sier at hver kontinuerlig funksjon f på et lukket intervall [a,b] kan tilnærmes uniformt av polynomer: for enhver ε>0 finnes et polynom p slik at sup_{x∈[a,b]} |f(x)-p(x)| < ε. Teoremet ble bevist av Karl Weierstrass i 1885 og har flere bevisvarianter, blant annet konstruert gjennom Bernstein-polynomer, noe som også gir en intuitiv tilnærming.

Generaliseringer og tilnærmingsideen er sentrale i funksjonell analyse. Stone-Weierstrass-teoremet utvider resultatet til generelle kompakte rum: hvis X er kompakt og A er en underalgebra av C(X) som skiller punkter og inneholder konstanter, er A dense i C(X). Dette innebærer at mange klasser av funksjoner, til og med i høyere dimensjoner eller på mer generelle rom, kan tilnærmes av enklere funksjonsformer.

Tilnærmingsteoremer har praktiske anvendelser innen numerisk analyse, funksjonsteknikk og modellering, der det er nødvendig å representere eller beregne andre funksjoner ved hjelp av en begrenset og velkjent basis. Begrensninger inkluderer krav om domene og funksjonstyper; ikke alle rom oppfyller dens vilkår, og i praksis kan konvergenshastighet variere.