Tillståndsrumrepresentation

Tillståndsrumrepresentation, eller state-space-model, är en matematisk modell av dynamiska system som beskriver hur ett tillstånd x förändras i förhållande till ingångar u och hur tillståndet ger upphov till en utgång y. Modellen är särskilt användbar för system med flera ingångar och utgångar och kan beskriva både kontinuerlig och diskret tid.

Kontinuerlig tid: ẋ = A x + B u, y = C x + D u. Diskret tid: x_{k+1} = A x_k + B u_k, y_k = C x_k + D u_k. Här är x ∈ R^n tillståndet, u ∈ R^m ingången, y ∈ R^p utgången och A, B, C, D är konstantmatriser som definierar systemets dynamik. A kallas systemmatris, B inmatningsmatrisen, C utgångsmatrisen och D genomgångsmatrisen.

Systemegenskaper som ofta studeras är kontrollerbarhet och observerbarhet. Kontrollerbarhet innebär att varje tillstånd kan nås från vilande utgång med lämpliga ingångar över ett finite antal steg; observerbarhet innebär att tillståndet kan rekonstrueras från utgångarna över tiden. Dessa egenskaper avgör möjligheten att utforma fullständiga tillståndsbaserade styr- och skattningslösningar, till exempel genom pole-placement, LQR-reglering eller Kalman-filter.

Relation till överföringsfunktioner: för kontinuerlig tid ger G(s) = C (sI − A)^{-1} B + D, och för diskret tid G(z) = C (zI − A)^{-1} B + D. Tillståndsrumrepresentationer används inom många tillämpningar, däribland reglerteknik, robotik, ekonomi och signalbehandling, där det behövs en flexibel och generaliserbar modell för systemdynamik och styrning. Begränsningar inkluderar modellens linjära och tidsinvarianta antaganden samt behovet av tillräcklig tillståndsinformation eller tillståndsuppskattning.