Tilavektoriyhtälöiden

Tilavektoriyhtälöt, tunnetaan myös nimellä tilavektorimuodostelmat tai tilavektorimallit, ovat tapa kuvata dynaamisten järjestelmien käyttäytymistä lineaarisessa algebraassa ja ohjausteoriassa. Ne koostuvat kahdesta peräkkäisestä yhtälöstä: tilayhtälöstä ja lähtöyhtälöstä. Tilayhtälö kuvaa järjestelmän tilan kehittymistä ajan suhteen, kun taas lähtöyhtälö kuvaa, miten järjestelmän mittaukset tai ulostulot riippuvat sen tilasta ja mahdollisista syötteistä.

Tilayhtälö on yleensä muotoa x'(t) = Ax(t) + Bu(t), missä x(t) on järjestelmän tilavektori ajanhetkellä t, x'(t) on tilavektorin derivaatta ajan suhteen, u(t) on järjestelmän syötevektori, A on tilamatriisi, joka kuvaa sisäistä dynamiikkaa, ja B on syötematriisi, joka kuvaa, miten syötteet vaikuttavat tilaan. Lähtöyhtälö on yleensä muotoa y(t) = Cx(t) + Du(t), missä y(t) on järjestelmän ulostulovektori ja C on lähtömatriisi, joka kuvaa, miten tilavektori projisoituu ulostuloksi, ja D on suoran syötön matriisi.

Tilavektoriyhtälöitä käytetään laajasti esimerkiksi insinööritieteissä, fysiikassa ja taloustieteessä monimutkaisten järjestelmien mallintamiseen ja analysointiin. Ne tarjoavat systemaattisen tavan ymmärtää ja ennustaa järjestelmän käyttäytymistä, ja niitä voidaan hyödyntää esimerkiksi säätöalgoritmien suunnittelussa. Yhtälöiden ratkaisut antavat tietoa järjestelmän tilasta ja ulostuloista ajan mittaan.