Tilayhtälö

Tilayhtälö, tai tila-yhtälö, on matemaattinen malli, jota käytetään kuvaamaan dynaamisten järjestelmien tilan kehitystä tilassa. Se esittää järjestelmän tilan vektorin x(t) sekä syötteen u(t) avulla, miten tila muuttuu ajan suhteen ja miten tila vaikuttaa järjestelmän ulostuloihin y(t).

Vakiomuotoinen, lineaarinen aikadynamiikan tilayhtälö koostuu yleensä kahdesta osasta. Jatkuvakronologisessa muodossa

dx/dt = A x + B u

y = C x + D u

missä x(t) ∈ R^n on tilamerkistö tai tilakoon vektori, u(t) ∈ R^m syöte, ja y(t) ∈ R^p ulostulo. A, B, C ja D ovat matriiseja, jotka määrittelevät järjestelmän sisäisen dynamiikan, tilan vaikutuksen ulostuloon sekä mahdollisen suoran syötteen vaikutuksen.

Diskreettiaikaisessa versiossa

x[k+1] = A x[k] + B u[k]

y[k] = C x[k] + D u[k]

käytetään digitaalisen ohjauksen tai simuloinnin sovelluksissa.

Tilayhtälöitä käytetään laajalti suunnittelussa ja analysissa, koska ne mahdollistavat järjestelmän käyttäytymisen kuvaamisen ja suunnittelun lineaarin järjestelmän hallinnassa (esim. tilan vakioiden avulla, LQR- tai Kalman-suodattimien avulla). Ne voidaan johtaa suoraan fysikaalisista laeista tai muuntaa korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöistä first-order -muotoon.

Tärkeä käsite tilayhtälön yhteydessä on controllability ja observability, jotka määrittävät, voidaanko tilaa ohjata haluttuun arvoon syötteen avulla sekä voidaanko ulostulon kautta tilaa rekonstruoida. Tilayhtälö on perusta monille simulointi- ja ohjausmenetelmille.