Tiheysmatriisin

Tiheysmatriisi (density matrix) on matemaattinen kuva kvanttijärjestelmän tilan tilastollisesta jakaumasta. Se yleistää tilan tilanvektorin ja soveltuu sekä puhtaisiin että epäpuhtaisiin tiloihin. Puhtaassa tilassa ρ = |ψ⟩⟨ψ|, mutta epäpuhtaiden tilojen kuvaus voidaan kirjoittaa sekoituksena ρ = ∑k p_k |ψ_k⟩⟨ψ_k|, jossa p_k ovat tilan esiintymien todennäköisyyksiä.

Tiheysmatriisi on Hermitianinen, positiivisesti semidefiniteinen ja sen jälki on yksi: Tr(ρ) = 1. Odotusarvot A määritellään yleisesti ⟨A⟩ = Tr(ρA) kaikille observabeleille A. Mittauksissa diagonaaliset elementit vastaavat mittauksen tulosten todennäköisyyksiä, ja off-diagonaaliset elementit kuvaavat koherenssia tilassa.

Ajan kehittyminen noudattaa eräitä periaatteita: suljetussa järjestelmässä tiheysmatriisi seuraa von Neumannin yhtälöä iħ dρ/dt = [H, ρ]. Avoimissa järjestelmissä kehitys on laajempi ja usein käytetään Lindbladin master-yhtälöä, joka sisältää dissipatiivisia termejä ympäristön vaikutusten huomioimiseksi.

Osajärjestelmän tila saadaan osittaisella jäljityksellä: ρ_A = Tr_B(ρ_{AB}). Tämä mahdollistaa kokonaisjärjestelmän tilan tutkimisen ilman, että tarvitsee tuntea kaikkia osajärjestelmiä erikseen.

Kahden tason järjestelmässä ρ voidaan kirjoittaa Blochin muodossa: ρ = (I + r·σ)/2, missä r on Blochin vektori ja σ ovat Pauli-matriisit. Tyypillisiä esimerkkejä ovat maksimaalinen sekoitus ρ = I/d ja puhdas tila ρ = |ψ⟩⟨ψ|. Tiheysmatriisiä käytetään laajalti kvantti-informaation sovelluksissa, tilan tomografiassa sekä koherenssin ja dekoherenssin analyysissä.