Tiheysmatriisiä

Tiheysmatriisi eli tiheysmatriisi-tilallinen kuvaus on tapa formalisoida sekä yksittäinen kvanttijärjestelmä että epävarmuuslupahistorioilla koottu tilanne. Tiheysmatriisi ρ on Hilbertin tilan operaattori, joka on positiivinen semidefiniittinen, Hermitean ja jonka trace on yksi. Se kuvaa sekä puhtaita että sekoittuneita tiloja: ρ = |ψ⟩⟨ψ| vastaa puhtaalle tilalle, kun taas sekoitus ρ = ∑k pk|ψk⟩⟨ψk| vastaa tilaa, jossa tunnetaan tilojen esiintymistodennäköisyydet pk.

Ominaisuudet ja tulkitseminen: tilan odotusarvo suureelle A on ⟨A⟩ = Tr(ρA). Jos puhtaassa tilassa ρ^2 = ρ (rank 1), kun taas sekoitetussa tilassa ρ^2 ≠ ρ yleisesti. Sekoituksen mittausten tulokset määräytyvät diagonaalisten elementtien avulla tietyn perusbasisin suhteen, mutta epäsymmetrisiä eli koherenssikohtia (Pois-diagonaaliset elementit) kuvaavat tilan coherentia ja häviävät decoherencein myötä.

Aikakehitys: suljetun järjestelmän ajan kehitys seuraa von Neumannin yhtälöä iħ dρ/dt = [H, ρ]. Avoimien järjestelmien dynamiikkaa kuvataan usein master-yhtälöillä, kuten Lindblad- tai Gorini–Kossakowski–Sudarshan-forma Lindbladin termillä.

Rajoitettuja ja summittaisia käyttöjä: odotusarvot mittauksille voidaan laskea ρ:n avulla ilman tilojen erillistä tilaa. Jäämät, kuten Tr(ρ^2), mittaavat puhtauden: 1 puhtaalle tilalle, arvo pienempi kuin 1 sekoitetulle tilalle.

Säilyfisyy: tiheysmatriisi antaa myös subsysteemien tiheysmatriisit Tr_B(ρ_AB), jolloin voidaan kuvata osatodellisuuksia ja korreloituneita tiloja.

Historia: tiheysmatriisi otettiin käyttöön kvanttifysikaalisen tilan kuvaamiseen von Neumannin työn ja myöhemmin GKSL/Lindblad-linjarakenteiden kehittämisessä kvantti-avoin systeemeissä.