semidefiniteinen

Semidefiniteinen eli positiivisesti semidefinite (lyhennes PSD) kuvaa neliömatriisia A, jonka kanssa x^T A x ≥ 0 kaikille vektoreille x ∈ R^n. Yleensä vaaditaan lisäksi, että A on symmetrinen; tällöin sen ominaisuudet ovat selkeämpiä. PSD:n vastakohta on negatiivisesti semidefinite, jossa x^T A x ≤ 0 kaikille x. Epäitsenäisesti määriteltyjä matriiseja ei yleensä pidetä PSD:inä.

Sosiaalisenjaels: PSD:n keskeinen kiinnekohta on spektri. A on PSD if all eigenvalues ≥ 0. Vastaavasti A ≥ 0 Loewnerin järjestyksessä tarkoittaa, että A − B on PSD, jos A on suurempi kuin B semidefinitian mukaan. PSD-matriiseja käytetään laajasti tilastossa, optimoinnissa ja signaalinkäsittelyssä.

Tiedostus ja rakenteet: PSD-matriisi voidaan esittää muodossa A = B B^T jollain matriisilla B. Täysi määriteltyy (positive definite) tarkoittaa, että kaikki eigenarvot ovat strictly > 0, jolloin A:lla on Choleskyn hajotelma A = L L^T. Semidefiniteisen tapauksessa hajotelma on edelleen mahdollista, mutta voi olla ei-uniikki ja vaatia sopivia rajoja.

Semidefinite-ohjelmointi: SDP on konveksinen optimointimuoto, jossa päätösmuuttuja on symmetrinen matriisi X ja X ⪰ 0 sekä mahdollisesti lineaariset rajoitteet. Tavoitteena voi olla lineaarinen tai quadratisoitu funktio, ja ongelma voidaan ratkaista sisäkäyntämenetelmillä esimerkiksi matriisijärjestämien kautta. SDP yhdistää lineaarisuus ja PSD-rajoitukset, ja sitä sovelletaan esimerkiksi kalibroinneissa, kontrolliteoriassa, koneoppimisessa ja tilastotutkimuksessa.

Käyttökohteet: PSD-matriisit kuvaavat esimerkiksi hajautettuja varianssikorrelaatioita, kernel-matriiseja, tilastollisia covariansseja sekä kontrollisovellusten energia- ja vakausarvoja.