Tidsinvarienta

Tidsinvarienta, ofta kallat tidsinvarians, är ett fundamentalt begrepp inom signalbehandling och kontrollteori som beskriver hur ett systems svar påverkas av förskjutningar i tiden. Ett system sägs vara tidsinvariant om en förskjutning i tiden av insignalens påverkan på utdata endast förskjuter hela svaret i tiden utan att ändra dess form.

Formellt innebär tidsinvarians att om en insignal x(t) ger upphov till en utdata y(t) = S{x(t)}, så uppfylls för varje tidsförskjutning t0 att S{x(t − t0)} = y(t − t0). I diskret tid används motsvarande notation: om x[n] ger y[n], ska S{x[n − k]} = y[n − k] gälla för alla n och k. Detta gör begreppet relevant både för kontinuerliga och diskreta signaler.

Tidsinvarians är särskilt viktigt i koppling till linjära tidsinvarianta system (LTI). Om ett system är både linjärt och tidsinvariant kan utsignalet beräknas som en konvolution mellan insignal och impulssvaret h(t) (eller h[n] i diskret tid): y(t) = x(t) * h(t). Tidsinvarians innebär att systemets respons inte förändras över tid, vilket underlättar analys och design av filtrering och kommunikationssystem.

Det finns tidsinvarianta och tidsvarierande system. Ett tidsvarierande system kan exempelvis ha en tidsberoende förstärkning eller filteregenskaper som ändras med tiden. Exempel på tidsinvarianta system är förseningar y(t) = x(t − t0) och konstanthärledda förstärkningar y(t) = a x(t). Tidsinvarians används för att bedöma stabilitet, freqvensrespons och för att effektivt modellera och simulera system över tid.