Tesselointia

Tesselointi on geometrian ilmiö, jossa taso peitetään ei-leikkaavilla paloilla siten, että koko pinta on kattettu eikä siihen muodostu aukkoja tai päällekkäisyyksiä. Tesselointia tarkastellaan sekä periodisina (toistuvina) rakenteina että ei-toistuvina, jolloin samanlaisia tiloja ei löydy toistuvasti kaikissa kohdissa.

Säännölliset tesseloinnit muodostuvat yhdestä säännöllisestä polygonista, ja ne voivat kattaa koko planeetan ainoastaan kolmiolla, neliöllä tai kuusikulmiolla. Näissä tilingissä huiput täyttyvät 360:n asteen mukaan, esimerkiksi kuusi tasasivuisen kolmion yhdistyy yhdeksi kohteeseen, neljä neliötä yhteen tai kolme kuusikulmiota. Maailmassa nämä ovat ainoita mahdollista säännöllistä tilointa planeetan peittämiseksi yksittäisellä muodolla.

Orgaanisempia on arkimedeläisten (semi-regular) tilingien ryhmä: tilingit, joissa käytetään useampaa kuin yhtä säännöllistä polygonia, mutta jokaisessa huipussa on sama polygoni- tai muotokokonaisuus. Esimerkkejä ovat tilingit, joissa esiintyvät esimerkiksi 3.12.12, 4.8.8 ja 3.3.3.4.4.

Ei-toistuvat tilingit ovat tilauksia, joissa rakenteet eivät toistu lainkaan tai ovat pätkittäin epäsäännöllisiä. Tunnetuimpia esimerkkejä ovat Penrose-tesselointi, joka käyttää kahta erilaista muotoa (kiekkot ja nuolimuoto) ja tuottaa pitkään tuntemattoman, ei-periodisen rakenteen sekä viidenkymmenennäymmeen kaltaisen symmetrian.

Historiaa ja sovelluksia: tesselointeja tutkittiin antiikin aikana mosaiikkien ja arkkitehtuurin yhteydessä, muun muassa islamilaisessa taiteessa ja kalevalaisissa mosaiikeissa. Kepler ja Dürer tutkimivat tilointeja sekä matemaattisten että taiteellisten näkökulmien kautta. Nykyään tilointia käytetään arkkitehtuurissa, grafiikassa ja tietokonegrafiikassa sekä kuvaamaan materiaalien järjestäytymistä, kuten kiteytymisiä ja quasicrystal-rakenteita.