Tasakaalupunktide

Tasakaalupunktide mõiste kirjeldab punkte distsiplinaarsüsteemides, kus muutujate väärtused ei muutu ajas. Üldiselt on tasakaalupunkt x*, kui süsteemi dünaamiline muutus on null: f(x*) = 0, kui dx/dt = f(x). Tasakaalupunktid võivad olla üks või mitu ning neil võib olla erinev iseloom: neid saab klassifitseerida vastavalt nende stabiilsusele.

Stabiilsus: Lineaarse lähenemise korral f(x) ≈ J(x*)(x − x*), kus J on Jacobiani maatriks. Kui kõigi eigenväärtuste Re(λ) suhtes on negatiivsed, on tasakaalupunkt lokaalselt stabiilne; kui mõni eigenväärtus omab positiivset Re(λ), on see ebastabiilne; kui kõik Re(λ) = 0, võib olla keskpunkt. Mitme tasakaalupunkti korral võivad erinevad punktid anda erineva stabiilsuse ligipääsetavuse ja süsteem võib näidata keerukamat käitumist.

Näide: 1D süsteem x' = x − x^3. Tasakaalupunktid on x* ∈ {−1, 0, 1}. f'(−1) = f'(1) = −2 ja need on stabiilsed; f'(0) = 1 on ebastabiilne.

Kasutusalad: Tasakaalupunktide mõistet kasutatakse laialdaselt matemaatikas ja füüsikas dünaamiliste süsteemide analüüsimisel, samuti inseneriteadustes, ökoloogias ja keemilises kineetikas, et kirjeldada püsivaid konfiguratsioone või seisundeid, mille juurde süsteem kaldub või mille ümber see varieerub.