eigenväärtuste

Omaväärtused ehk eigenväärtused on ruutmaatriksi A jaoks need skalaarsed väärtused λ, mille korral leitakse mitte-null omaväärtusvektor v, millele Av = λv kehtib. Omaväärtuseid leitakse lahendades karakteristilise polünoomi det(A − λI) = 0. Sellest lahendist saab leida omaväärtused λ; arv võib olla kuni n, kui maatriks on n×n.

Iga omaväärtus λ seostub eigensubruumiga Eλ = {v : Av = λv}. Geomeetriline kordus on dim Eλ; algebraline kordus on polüoomi juurte arv. Omaväärtused on invariantsed sarnasuse transformatsioonide all: kui B = S⁻¹AS, siis A ja B jagavad samu omaväärtusi.

Maatriks A on diagonaliseeritav, kui on olemas piisav arv lineaarset sõltumatuid omaväärtusvektoreid; sellisel juhul on olemas P ja Λ nii, et A = PΛP⁻¹, kus Λ on diagonaalne maatriks ja diagonaalarvud on omaväärtused. Kui A on reaalselt sümmeetriline, saab selle kirjutada A = QΛQᵀ, kus Q on ortogonaalne.

Kasutus: omaväärtuseid kasutatakse lineaarsüsteemide lahendamisel ja stabiilsusanalüüsil, maatrikside spektraalseksuringul ning andmete vähendamisel (peamise komponentide analüüs, PCA). Omaväärtused annavad teavet maatriksi „laadi” ja selle mõju süsteemile.