Omaväärtuseid

Omaväärtused, ehk eigenvalues, on ruutmaatriksi A jaoks sellised skalaarsed väärtused λ, mille jaoks leitakse mitte-null vektor x, mis rahuldab Av = λx. Teisisõnu on A − λI singulaarne ja det(A − λI) = 0. Selliseid λ nimetatakse omaväärtusteks ja nende allikaks on maatriksi A struktuur.

Karakteristlik polünoom p_A(λ) = det(A − λI) on polünoom, mille nullkohad on A omaväärtused. Omaväärtused võivad olla reaalsed või kompleksse arvu kujul; reaalse maatriksi puhul võivad komplekssed omaväärtused esineda paarikaupa konjugitena. Iga omaväärtuse korral eksisteerib vastav mitteruutu vektor, mida nimetatakse omavektoriks, rahuldades Av = λx.

Maatriksi omadused seonduvad omaväärtustega: summa kõigi omaväärtuste (arv) võrdub maatriksi jääd (trace) ja korrutis omaväärtuste võrdub maatriksi determinantiga. Omaväärtused on invariantsed sarnasusmõõtmete all: A ja P⁻¹AP jagunevad sama omaväärtuste varem. Maatriks on diagonaalile sobiv (diagonaalset) siis ja ainult siis, kui sellel on piisavalt sõltumatuid omaväärtuste vektoreid (ehk maatriks on diagonaaliseeritav).

Spetsiaalne juhtum: reaalselt sümmeetrilised maatriksid omavad kõikidel omaväärtustel reali ning neil on ortonormaalne omavektorite alus; seekordne versioon tuntud kui spektriteoreem: A = QΛQᵀ, kus Q on ortonormaalne ja Λ on reaalsed diagonaalväärtused.

Rakendused ja arvutus: omaväärtused ja omaväärtuste vektorid kasutuvad algoritmides nagu QR- ja võimenduse meetodid, ning rakendustes alates diferentsiaalvõrrandustest ja stabiliteedi analüüsist kuni Põhikomponentide Analüüsini (PCA) ja Markovi protsesside uurimiseni.