diagonaalarvud

Diagonaalarvut ovat luvut, jotka sijaitsevat diagonaalilla matriiseissa tai muissa kaksidimensionaalisissa taulukoissa. Yleensä puhumme päädiagonaalista, jonka alkiot ovat a11, a22, …, ann. Lisäksi voidaan tarkastella muita diagonaaleja, joiden rivin ja sarakkeen erotus on sama (i − j = k), eli diagonaalit kulkevat rinnakkain päädiagonaalin kanssa.

Esimerkiksi n×n-matriisissa A = [aij] päädiagonaali koostuu alkiosta a11, a22, …, ann. Päädiagonaalin luvut vaikuttavat matriisin yhteenkuuluvuuteen ja niiden kautta voidaan tarkastella matriisin perusominaisuuksia. Monissa yhteyksissä diagonaalisuus yksinkertaistaa laskutoimituksia, kun muut alkiot ovat nollia tai kun halutaan tarkastella erillisiä diagonaaleja erikseen.

Merkittäviä ominaisuuksia diagonaalarvojen kontekstissa ovat muun muassa matriisin jälki (trace). Jälki määritellään summana a11 + a22 + … + ann ja se on invariantsi vaihdossa toiseen samaan ominaisuuksiltaan kuuluvien matriisien välillä. Lisäksi jos matriisi on diagonaalinen, sen ominaisarvot ovat suoraan diagonaalialkiot, mikä tehostaa ominaisarvot ja diagonaalisoitumisen tarkastelua.

Käyttöalueita diagonaalarvoilla on laajasti lineaarialgebrassa, tilastotieteessä ja tietojenkäsittelyssä. Päädiagonaali ja diagonaaliset muodot helpottavat laskutoimituksia, kertovat matriisin rakenteesta ja mahdollistavat yksinkertaisemman spektrian analyysin. Diagonaalisuuden ymmärtäminen auttaa myös erilaisten matemaattisten rakenteiden, kuten Pascalin kolmiota ja sen diagonaaleja, tulkinnassa, joissa diagonaalit voivat tuottaa binomikertoimia tai muita tunnettuja lukujonoja.