Systemmatrisen

Systemmatrisen, ofta betecknad A, är den kvadratiska matris som beskriver den interna dynamiken i ett linjärt tillståndsrumssystem. I kontinuerlig tid ges modellen vanligtvis av dx/dt = Ax + Bu, y = Cx + Du, där x ∈ R^n är tillståndsvektorn, u ∈ R^m inmatningen och y ∈ R^p utgången. I diskret tid skrivs motsvarande modell som x_{k+1} = Ax_k + Bu_k, y_k = Cx_k + Du_k. I båda fallen är A en n×n-matris som beskriver hur tillståndet utvecklas av sig självt.

Värdena i A innehåller systemets naturliga lägen. Egenvärdena λ bestämmer beteendet hos systemet: i kontinuerlig tid är systemet stabilt utan ingång om Re(λ) < 0 för alla λ, och i diskret tid krävs att alla |λ| < 1. A:s struktur påverkar också vilka tillstånd som kan styras och observeras; i kontrollteori studeras ofta paren (A,B) för controllability och (A,C) för observability.

Relationen till överföringsfunktionen är G(s) = C(sI − A)^{-1}B + D i kontinuerlig tid, eller G(z) = C(zI − A)^{-1}B + D i diskret tid. Systemmatrisen är därför central för analys och design av linjära system, inklusive modellering, stabilitetsbedömning samt kontroll- och observabilitetsdesign.

I praktiken är A ofta real, men kan även vara komplex. Vid analytisk behandling används ofta diagonalisering eller Schur-form för att få fram systemets lägen. Numeriska beräkningar av A görs med olika metoder, särskilt för stora system eller system med närliggande lägen.