Symmetriaryhmät

Symmetriaryhmät ovat matemaattinen käsite, joka kokoaa kaikki tietyt symmetriat yhteen. Symmetria tarkoittaa rakennetta säilyttävää muunnosta: jos objektin jokainen osa siirtyy muuntuessaan samalla tavalla, muutos on symmetria. Esimerkiksi neliön symmetriat ovat kaikki lopputulokset, jotka jättävät neliön ulkonäön muuttumattomaksi.

Kokoelma kaikista symmetrioista muodostaa ryhmän, kun muunnoksia yhdistetään toisiinsa komposition kautta. Tämä symmetriaryhmä, usein merkitty Sym(X) tai G, täyttää ryhmän neljä perusominaisuutta: sulkeutuvuus, assosiatiivisuus, identiteettimuunnos sekä jokaiselle muunnokselle käänteismuunnos. Ryhmän toiminta voidaan ajatella myös objektiin vaikuttavana ryhmänä.

Esimerkkejä: neliön dihedraalinen ryhmä D4, jonka kokonaistulosten määrä on 8; se sisältää sekä pyörimisiä että peilaussymmetrioita. Pelkät pyörimiset muodostavat C4-ryhmän, jonka järjestys on 4. Ympyrän symmetriat koostuvat kaikenlaisista isometrioista ympäri keskustan: niiden täyden ryhmän nimitys on O(2), pyörimisten osa taas SO(2). Yleisesti voidaan puhua dihedraalista Dn tai Cn-ryhmästä, jotka kuvaavat erilaisten monikulmiota muistuttavien objektien symmetrioita.

Monilla objektityypeillä on sekä finite että continuous -symmetrioita. Maanmittauksessa ja fyysikassa symmetriaryhmät liittyvät usein Lie-ryhmiin, kuten SO(2) tai SU(2). Käytännön sovelluksia ovat esimerkiksi crystallography ja molekyylien tai geneettisten rakenteiden symmetriat, sekä teorioissa partikkelien vuorovaikutusten ja hiukkasastetta koskevat symmetrioita.

Lisäksi ryhmät voivat toimia kappaleisiin, ja näiden toimintojen avulla syntyy taibit sekä orbyjä laskelmia kuten Burnside’n lemmaa. Teoreettisesti jokainen järjestetty ryhmä voidaan upottaa sellaisenaan jonkin identtisen symmetrioiden ryhmään Cayley’n lauseen mukaan.

Katso myös: ryhmäteoria, lineaarinen esitys, dihedraalinen ryhmä, Lie-ryhmät, tilanyhdistelmät.