Subgrupos

En matemáticas, un subgrupo H de un grupo G es un subconjunto que, bajo la misma operación de G, forma un grupo. Esto significa que H contiene el elemento neutro de G, es cerrado respecto a la operación de G y cada elemento de H tiene su inverso en H. Si G se describe de forma aditiva, estas condiciones equivalen a contener 0, ser cerrado bajo la suma y contener cada inverso -h. Se denota H ≤ G o H ⊆ G. Un subgrupo puede ser trivial, {e}, o igual a G; cuando H ≠ G se dice que es subgrupo propio.

Una propiedad básica es que la intersección de subgrupos es un subgrupo; la unión no lo es en general, salvo que uno contenga al otro. El subgrupo generado por un subconjunto S ⊆ G, denotado ⟨S⟩, es el menor subgrupo de G que contiene S.

Subgrupos cíclicos y generados: el subgrupo generado por un solo elemento a se escribe ⟨a⟩ y consiste en todas las potencias de a (en notación aditiva, n·a). Un subgrupo es finito si su conjunto generador produce un número finito de elementos, y su orden es el tamaño del subgrupo.

Subgrupos normales y cociente: H es normal en G (H ◁ G) si gHg^{-1} = H para todo g ∈ G. En ese caso, el conjunto de cosets G/H forma un grupo, llamado cociente. El núcleo de un homomorfismo es un subgrupo normal.

Índice y Lagrange: el índice [G : H] es el número de cosets izquierdos; si G es finito, |H| divide |G|. Esto impone restricciones en el tamaño de subgrupos y de elementos.