subgrupo

Subgrupo é um conceito fundamental em teoria dos grupos. Em um grupo G, um subgrupo H é um subconjunto que, sob a mesma operação de G, forma ele próprio um grupo. Em termos simples, H deve conter o elemento identidade de G, ser fechado sob a operação do grupo e conter o inverso de cada um de seus elementos. Assim, H é dito um subgrupo de G e costuma-se escrever H ≤ G.

Critério de subgrupo. Um subconjunto H de G é subgrupo se e apenas se for não vazio e fechado sob a operação de G e sob a operação de inversão (ou, equivalentemente, se para quaisquer a, b em H vale ab^{-1} ∈ H). Esses critérios permitem reconhecer rapidamente subgrupos sem precisar revalidar todas as axiomas do grupo.

Exemplos. Em Z sob adição, os conjuntos nZ (com n ≥ 0) são subgrupos. O conjunto {0} e o próprio Z são subgrupos, assim como o subgrupo gerado por um elemento a, denotado por ⟨a⟩. Em S3, o conjunto {e, (12)} é um subgrupo de ordem 2. Subgrupos podem ser gerados por conjuntos de elementos, resultando no menor subgrupo que contém esses elementos.

Propriedades e aplicações. A interseção de quaisquer subgrupos é um subgrupo; nem toda união de subgrupos é subgrupo. Subgrupos normais, denotados H ⊲ G, permitem formar grupos quotient G/H. Em grupos finitos, o teorema de Lagrange afirma que o tamanho de qualquer subgrupo divide o tamanho do grupo. Subgrupos aparecem em diversas áreas, como simetrias, geometria e álgebra abstrata, servindo como blocos estruturais para compreender a organização de um grupo.

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