Stödfunktioner

Stödfunktioner är ett matematiskt begrepp som används i flera sammanhang för att beskriva var en funktion har stöd och hur den interagerar med omgivningen. Begreppet förekommer framför allt i två närbesläkta betydelser.

Första betydelsen är stödfunktionen i konvexanalys. Givet en icke-tom mängd K i Rumn definieras stödfunktionen h_K av u som h_K(u) = sup { ⟨u, x⟩ : x ∈ K }. Den beskriver vilka hyperplan som tangerar K och används i dualitet, polära operationer och vid beskrivning av kroppen K. Egenskaperna inkluderar att h_K är konvex och positivt homogen när K är konvex, samt att den är kontinuerlig om K är kompakt. Exempel: för K som enhetsbollen är h_K(u) = ||u||, och för ett linjesegment [a, b] är h_K(u) = max{⟨u, a⟩, ⟨u, b⟩}.

Andra betydelsen rör funktioner vars stöd är avgränsat till ett visst område. Supporten av en funktion f betecknas supp(f) och är slutenheten där f inte är lika med noll. Funktioner vars stöd är kompakt kallas ofta funktioner med kompakt stöd. Dessa är centrala i analys och distributionsläran och används bland annat som testfunktioner vid konstruktion av mollifierer och vid definition av distributioner.

Se även: dualnorm, Minkowskifunktional, testfunktioner.