Stammfunktionen

Stammfunktionen

Stammfunktionen (Antiderivate) einer Funktion f auf einem Intervall I sind Funktionen F, deren Ableitung F′ gleich f ist, also F′(x) = f(x) für alle x in I. Man spricht auch von einem Antiderivat von f.

Existenz und Allgemeines: Falls f auf I stetig ist, existiert mindestens eine Stammfunktion F auf I. Alle Stammfunktionen von f unterscheiden sich um eine Konstante: F2(x) = F1(x) + C. Die allgemein gültige Schreibweise lautet F(x) = ∫ f(x) dx + C.

Notation und Zusammenhang zum bestimmten Integral: Das Symbol ∫ f(x) dx bezeichnet die Menge aller Stammfunktionen von f, d.h. die Familie F(x) + C. Der Fundamentalsatz der Analysis verbindet unbestimmtes und bestimmtes Integral: Falls f auf [a,b] stetig ist und F eine Stammfunktion von f, dann ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a).

Beispiele: Für f(x) = 2x ist F(x) = x^2 + C eine Stammfunktion. Für f(x) = sin x ist F(x) = −cos x + C eine Stammfunktion.

Hinweise: Nicht alle Funktionen besitzen eine Stammfunktion in Form einer Elementarfunktion; für stetige Funktionen existiert jedoch immer eine Stammfunktion. Stammfunktionen spielen eine zentrale Rolle bei der Berechnung von Flächen und Volumen mittels Integralen sowie in Physik, Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie.