Stödfunktionernas

Stödfunktionernas är begrepp inom konvex analys som beskriver hur en given konvex mängd reagerar på olika riktningar i R^n. För en icke-tom mängd K ⊂ R^n definieras stödfunktionen h_K av vektor u ∈ R^n som h_K(u) = sup{ ⟨u, x⟩ : x ∈ K }. Om K är konvex och sluten bestämmer sådana värden i alla riktningar egenskaperna hos K.

Egenskaper: Stödfunktionen h_K är sublinear; den är positivt homogen och uppfyller subadditivitet, dvs h_K(αu) = α h_K(u) för α ≥ 0 och h_K(u+v) ≤ h_K(u) + h_K(v). Om K ⊆ L så följer h_K ≤ h_L punktvis. För konvexa kroppar som innehåller origo är h_K en norm om K är symmetriskt, annars är den ett seminorm.

Relation till polära mängder och dualitet: Den polära mängden K° = {y ∈ R^n : ⟨y, x⟩ ≤ 1 ∀ x ∈ K} kopplas till stödfunktionen via h_K(u) = sup_{x∈K} ⟨u, x⟩. För varje u gäller att h_K(u) ≤ 1 om och endast om u ∈ K°. Generellt kan K återges som { x ∈ R^n : ⟨u, x⟩ ≤ h_K(u) ∀ u ∈ R^n }.

Exempel och användning: För K = B_r(0) är h_K(u) = r‖u‖_2; för K = [-1,1]^n gäller h_K(u) = ∑|u_i|. Stödfunktionerna används i optimering, dualitet och geometriska beräkningar. Samlingen stödfunktionernas egenskaper utgör en central byggsten i konvex geometri och funktionalanalys.