Spegelbildsrelation

Spegelbildsrelation, i geometrin vanligt kallad reflektion med avseende på en given spegellinje, är en relation mellan punkter i planet där den ena punkten är spegelbilden av den andra i förhållande till en fast linje. För varje punkt P finns en unikt bestämd spegelbild P' sådan att spegellinjen är en vinkelrätt bisektris till PP'. På så sätt fås spegelbilden av en figur genom att reflektera varje punkt i figuren över linjen.

Egenskaper och struktur

Spegelbildsrelationen är en isometri; avstånd bevaras och orienteringen vänds. Den är en involution, vilket innebär att till exempel om P:s spegelbild är Q så är Q:s spegelbild P. Punkten på spegellinjen är fixerad av reflektionen (P = R_l(P)). Varje punkt utom de som ligger på linjen bildar ett par {P, R_l(P)}, medan punkter på linjen bildas till enskilda punkter. Metodiskt används relationen för att studera symmetrier och för varje figur ge en spegelbild som också uppfyller samma egenskaper som originalet.

Koordinatisk bild

Om spegellinjen L ges av ax + by + c = 0 och en punkt P = (x, y) har spegelbild P' = (x', y'), så är:

d = (a x + b y + c) / (a^2 + b^2)

x' = x - 2 a d

y' = y - 2 b d

Denna formel används för att beräkna spegelbilder i praktiska tillämpningar och för att analysera hur figurer transformeras under reflektionen.

Tillämpningar och sammanhang

Spegelbildsrelationen är central i studier av symmetri, problemlösning och bevis inom geometrin. Den används inom grafisk framställning, bildbehandling och i teorier om grupper som beskriver uppsättningar av symmetrier (t.ex. grupper som involverar spegelsymmetri). I tredje dimension utgör speglingar i planer en liknande relation med reflektion över båg- eller planet.