SigmaAdditivität

SigmaAdditivität, im Maßbereich oft als sigma-Additivität oder abzählbare Additivität bezeichnet, ist eine fundamentale Eigenschaft eines Maßes μ auf einer σ-Algebra 𝒜 über einer Grundmenge X. Sie besagt: Für jede Folge (A_n) von paarweise disjunkten Mengen in 𝒜 gilt μ(⋃_{n=1}^∞ A_n) = ∑_{n=1}^∞ μ(A_n). Diese Eigenschaft unterscheidet Maße von rein finitär additiven Funktionen und sorgt für die Konsistenz des Maßsystems über abzählbare Vereinigung.

Typische Beispiele für sigma-additive Maße sind die Lebesgue-Verteilung auf der reellen Zahlen, das Zählmaß (Zählmaß einer Menge entspricht der Anzahl ihrer Elemente) sowie Wahrscheinlichkeitsmaße, bei denen μ(X) = 1. Zu den Konsequenzen gehört, dass μ notwendigerweise μ(∅) = 0 ist und μ monoton ist (falls A ⊆ B, dann μ(A) ≤ μ(B)). Darüber hinaus gilt die Stetigkeit von unten: Ist A_n eine steigende Folge (A_n ↑ A), dann μ(A) = lim μ(A_n). Unter der Bedingung μ(A_1) < ∞ gilt auch die Stetigkeit von oben: Ist A_n eine absteigende Folge (A_n ↓ A), dann μ(A) = lim μ(A_n).

Sigma-Additivität ist eine der zentralen Axiomen eines Maßes auf einer σ-Algebra und lässt sich über die Bedingung der abzählbaren Vereinigung ableiten. Sie ist eng verknüpft mit wichtigen Sätzen der Maßtheorie, wie dem Monotonitätssatz, dem Satz von der Stetigkeit von unten/oben und dem Carathéodory-Extension-Theorem.