Schließelemente

Schließelemente (auch geschlossene Elemente) bezeichnet man in der Mengen- und Ordnungslehre als jene Elemente eines Struktursystems, die Fixpunkte eines Abschlussoperators sind. Gegeben sei eine Menge L mit einem Abschlussoperator cl: L -> L, der die Eigenschaften Extensivität, Monotonie und Idempotenz erfüllt: Für alle x gilt x ≤ cl(x), falls x ≤ y dann cl(x) ≤ cl(y), und cl(cl(x)) = cl(x). Ein Element x ∈ L heißt Schließelement, wenn cl(x) = x. Die Menge der Schließelemente bildet eine Abschlussmenge (Closure System) und entspricht der Fixpunktmenge von cl.

In der Topologie sind die Schließelemente genau die abgeschlossenen Mengen eines Raums. Eine Teilmenge A ⊆ X ist genau dann abgeschlossen, wenn cl(A) = A. Die Familie aller abgeschlossenen Mengen ist unter Intersektion beliebiger Familien abgeschlossen und unter Vereinigung endlicher Familien abgeschlossen.

Beispiele: Im Vektorraummodell mit dem Abschlussoperator span(S) – der durch die lineare Hülle von S definiert ist – sind die Teilräume Schließelemente. In allgemeineren Strukturen erscheinen Schließelemente als Fixpunkte von Abschlussoperatoren, etwa in Galois-Verbindungen oder in der algebraischen Geometrie als abgeschlossene Mengen, die durch radikale oder Varietätendefinitionen entstehen.

Wichtige Eigenschaften: Schließelemente bilden eine Teilstruktur, die mit der zugrunde liegenden Ordnung gut verträglich ist und unter Meets (Infima) abgeschlossen ist. Der Abschlussoperator cl wirkt als Projektion auf die Menge der Schließelemente, da jedes x auf das kleinste geschlossene Element über x abgebildet wird und cl(cl(x)) = cl(x) gilt. Diese Perspektive erleichtert das Verständnis von Substrukturen wie Unterräumen oder abgeschlossenen Mengensystemen.