Schattenanalyse

Schattenanalyse bezeichnet ein Teilgebiet der Funktional- und Operatorentheorie, das sich mit Schattenklassen von Operatoren befasst. Die Schattenklasse S_p(H) eines Hilbertraums H umfasst alle beschränkten Operatoren T: H→H, deren Singulärwerte s_n(T) eine Folge in l^p ist. Die p-Norm ||T||_p = (sum_{n≥1} s_n(T)^p)^{1/p} definiert eine normierte Struktur, und S_p ist für 1 ≤ p < ∞ ein zweistufiges Ideal in den Endomorphismen von H. Die Klassen S_1 (Spurklasse) und S_2 (Hilbert-Schmidt) sind besonders bedeutsam: S_1 besitzt eine definierbare Spur, S_2 ermöglicht eine natürliche innerproduktbasierte Struktur.

Eigenschaften: Die Normen sind unabhängig von der Orthonormalbasis und unitarily invariant. Für 1 < p < ∞ gilt die Dualität S_p* ≅ S_q mit 1/p + 1/q = 1. Schattenklassen erfüllen Interpolationseigenschaften und liefern eine Reihe von Ky-Fan-Normen sowie Majorisierungseigenschaften.

Beispiele und Anwendungen: Endliche Matrizen gehören zu S_p; kompakte Operatoren auf unendlichen Hilberträumen liegen in S_p abhängig von der Abfolge ihrer Singulärwerte. Anwendungen finden sich in der Spektral- und Perturbationstheorie, in der Quantenmechanik, der nichtlinearen PDE-Theorie sowie in der nichtkommutativen Lp-Geometrie.

Hinweis: Der Begriff leitet sich von den Singulärwerten der Operatoren ab, die als Schattenwerte bezeichnet werden; in der deutschsprachigen Literatur wird daher oft von Schattenklassen oder Schattenanalyse gesprochen.