Rückwärtsdifferenz

Rückwärtsdifferenz, auch bekannt als Backward Difference, ist ein finite-difference-Operator in der numerischen Analysis, der Werte einer Funktion an früheren Stützpunkten verwendet. Im diskreten Gitter mit Schrittweite h ist der Rückwärtsunterschied Delta_b f(x) definiert als Delta_b f(x) = f(x) - f(x - h). Damit lässt sich auch die rückwärts gerichtete Differenzenquotient bilden: (f(x) - f(x - h)) / h, der eine Näherung von f'(x) darstellt.

Die rückwärts gerichtete Differenz gehört zusammen mit der Vorwärtsdifferenz und der zentralen Differenz zu den Grundarten der Finite-Differenzen-Methoden. Die erste Ableitung kann durch f'(x) ≈ (f(x) - f(x - h)) / h angenähert werden, wobei der Fehler ordnungs extern O(h) beträgt. Höhere Ordnung erhält man durch wiederholte Anwendung des Operators: Delta_b^2 f(x) = f(x) - 2 f(x - h) + f(x - 2h), Delta_b^n f(x) = Delta_b(Delta_b^{n-1} f)(x). In allgemeiner Form lässt sich die Entwicklung über Binomialkoeffizienten darstellen.

Verwendung und Eigenschaften: Die Rückwärtsdifferenz eignet sich besonders, wenn Datenpunkte nur in der Vergangenheit vorliegen oder Stabilitätsaspekte bei bestimmten numerischen Verfahren eine Rolle spielen. Sie ist weniger genau als zentrale Differenzen, aber nützlich in schrittweisen Verfahren wie einigen‍ Backward-Differentiation-Verfahren (BDF) zur Lösung gewichteter Differentialgleichungen, insbesondere bei starrer oder stiff Systemen.

Beispiel: Zur Näherung von f'(1) mit h = 0,1 erhält man (f(1) - f(0,9)) / 0,1 als erste Näherung. Die Genauigkeit hängt von der Glattheit von f ab; der Fehler wächst typischerweise mit der Schrittweite h.

Siehe auch: Vorwärtsdifferenz, zentrale Differenz, Finite-Differenzen-Methoden, BDF-Verfahren.