Ringteori

Ringteori er grenen af abstrakt algebra, der studerer ringer. En ring er en mængde R udstyret med to binære operationer: addition og multiplikation. Addition giver (R,+) som en abelsk gruppe, og multiplikationen er associativ. Desuden gælder distributiv lov: a·(b+c) = a·b + a·c og (a+b)·c = a·c + b·c for alle a, b, c i R. Mange ringer har enhed (et element 1, således at 1·a = a for alle a); nogle mangler en sådan enhed. Når ringer er kommutative (a·b = b·a for alle a,b), tales der ofte om kommutative ringer og studiet af deres idealer og spektrum.

Idealer er særlige underliggende mængder I ⊆ R, der er additive undergrupper og lukkede under multiplikation med alle elementer af R. Kvotientringen R/I dannes ved at moddele R med I. Homomorfier f fra en ring til en anden bevarer addition og multiplikation; kernet af f og billederne er centrale i sætningen om isomorfiske billeder: R/ker f ≅ Im f.

I kommutative ringer er idealer og særligt primidealer og maksimale idealer grundlæggende. Et primideal P er sådan, at hvis ab ∈ P, så enten a ∈ P eller b ∈ P; et maksimalt ideel M er sidst i en kæde af idealer. R/M er en krop, og primidealerne styrer den algebraiske struktur. Spektrumet Spec R, bestående af primidealer, får en naturlig topologi og bruges i algebraisk geometri.

Modulteori udvider ideen om vektorrum til ringer: en R-modul M er en abelsk gruppe med en skalarfordeling R × M → M. Eksempelvis er Z også en Z-modul, og polynomier med koefficienter i R danner ofte R[x]-moduler. Ringe spiller en central rolle i talteori, algebraisk geometri og repræsentationsteori.